contenido

                                        LOGICA

1. Conceptos

2. Definición de proposición

3. Operaciones con proposiciones

    • Negación

    • Conjunción o producto lógico

    • Disyunción o suma lógica

    • Implicación o condicional

    • Bi-condicional o doble implicación

4. Proposiciones simples

5. Proposiciones compuestas o formulas proposicionales

6. Clasificación de las formulas proposicionales

    • Tautología

    • Anti-tautología o contradicción

    • Contingencia

7. Tabla de valores de verdad

8. Formulas lógicamente equivalentes

9.  Leyes lógicas

10.Simplificación de fórmulas proposicionales

11. Circuitos lógicos

12. Lógica de bits (not, and, or, xor)

13. Compuertas lógicas y algebra de Boole

14. Mapas de Karnaugh

15. Grafos dirigidos

                                            RELACIONES

1. Introducción

2. Conceptos par ordenado

3. Conceptos producto cartesiano

4. Grafica de un producto cartesiano

5. Relación

6. Dominio de una relación y Dominio de imagen (imagen, rango) de una relación

7. Relaciones de equivalencia

    • Reflexiva

    • Simétrica

    • Transitiva

8. Relación inversa

9. Composición de relaciones radicción ) según los valores

¿que es la logica?

  La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Proposiciones

 

¿Qué es una proposición?

Una proposición es una afirmación con sentido completo, y constituye la forma más elemental de la lógica Las proposiciones brindan información sobre un acontecimiento falsable, es decir, que puede ser verdadero o falso Y QUE NO PUEDE SER AMBOS A LA VEZ. Por ejemplo: La tierra es plana./ Está lloviendo./ El perro es blanco y negro.

Las proposiciones son los elementos básicos a partir de los cuales se construyen los razonamientos que son la base de la lógica aritmética, y por eso son muy utilizadas en el ámbito de la ciencia y de la epitesmología.

Expresiones que pueden o no ser proposiciones:

- Una expresión no es una proposición cuando es una oración dubitativa, imperativa, exclamativa, etc.

Ejemplo:  ¡Hola!./ ¿Qué hora es?/ El gato es negro

- Una expresión si es una proposición cuando es una oración que no cumpla con lo anterior, cuando es aseverativa y tiene que ser bien verdadera o bien falsa.

Ejemplo: Soy Boliviano./ 1+1=2

 

Nota: Para denotar una proposición se utiliza letras minúsculas delante de las oraciones por ejemplo: a = El perro es negro. Por convenir las letras tienen que ser desde la p hasta la z.

Valor de verdad de una proposición:

Decimos que una proposición tiene el valor de verdad cuando el símbolo es V(p)= V donde denotamos  que es verdadero si lleva V (Verdadero) y F de falso. Leyéndose: "El valor de verdad de la proposición p".

Ejemplo: p = "4 * 7 = 21"; V(p) = F

              q = "Ramón es Cruceño"; V(p) = V

Operaciones con proposiciones

  A partir de una o más proposiciones se puede dar y efectuar una proposición resultante mediante lo que conocemos como operaciones con proposiciones gracias a la aplicación de los conectivos lógicos.

Negación (monaria) : Se puede efectuar con solo una proposición  

Conectivo lógico: "~", " - ". Leyéndose: No p, Es falso que p, No es cierto que p, No es verdad que p.

Tabla de verdad:

 

Conjunción o producto lógico (Binario): Son necesarias dos proposiciones para efectuar una conjunción, también son conocidos como operaciones binarias y si o si son necesario que los dos sean verdaderos.

Conectivo lógico: " ^ ". Leyéndose: p y q 

Tabla de verdad

 

Disyunción (inclusiva) o suma lógica: también conocida como disyunción débil o disyunción incluyente; esta se da entre dos proposiciones, cuyo valor de la verdad resulta en falso solo si ambas proposiciones son falsas, y en cierto de cualquier otra forma.

Conectivo lógico: " ∨ ". Leyéndose: p o q, o también puede ser p o q.

Tabla de verdad:

 

Disyunción exclusiva: A diferencia de su hermana esta viene decir que al menos una de las opciones es verdadera, pero sólo una. En este sentido exclusivo, si en "pq", p es verdadera y q también lo es, la disyunción exclusiva es falsa.

Conectivo lógico: "⊻" .Leyéndose: p o q pero no ambas.

Tabla de verdad: 

 

Implicación o condicional: Conocido como el si entonces, se utiliza en bastantes lenguajes de programación siendo representado como el If. Ahora si la condicional es aquella que conecta dos proposiciones y da una conclusión para las dos.

Conectivo lógico: " → " . Leyéndose: Si p entonces q

Tabla de verdad: 

 

Doble implicación o bi-condicional: También conocido en el mundo de la lógica como el equivalente ya que representa la equivalencia lógica entre dos proposiciones siendo necesaria para representar la relación entre dos proposiciones. 

Conectivo lógico: "↔". Leyéndose: p si y solo si q

Tabla de verdad:

Proposiciones simples y compuestas

 

Proposiciones Simples

Las proposiciones solo pueden ser simples o compuestas. Las proposiciones simples son aquellas que expresan un estado de situación en su forma más sencilla, es decir, uniendo un sujeto con un verbo y un predicado. Por ejemplo: El perro ladra todo el día

Existen tanto en el ámbito de la matemática como en otras disciplinas y se caracterizan por no tener ningún término que condicione la proposición ni presentar operadores lógicos, que son partículas que permiten unir dos o más proposiciones. Por ejemplo: La pared es azul

Las proposiciones simples son aquellas que no tienen conectivo lógico en su estructura. También se les llama proposiciones atómicas y se representan con las letras minúsculas p, q, r, ..., z.

Proposiciones compuestas, fórmulas moleculares o fórmulas proposicionales:

Las proposiciones compuestas son la combinación de dos o mas proposiciones simples con los conectivos lógicos pudiendo ser de oposición, de adición o de condición. También se consideran compuestas las proposiciones negativas y las bicondicionales. Por ejemplo: Si tienes ganas de jugar entonces ven a mi casa.

Nota: Al hacer uso de una proposición compuestas estas tienen que ser representados con letras del alfabeto griego.

Uso de paréntesis: El uso del paréntesis es primordial para indicar cuál o cuales de las proposiciones componentes se aplica a cada conectivo lógico.

Clasificación de las formulas proposicionales: 

Tautología: Es la formula proposicional que siempre termina en una verdad, independientemente de los valores de verdad que la componen. Se utiliza el símbolo " V " para indicar que es una tautología.

Ejemplo:

Esto es una Tautología

Anti - tautología o contradicción: Formula proposicional que siempre termina es falso, independientemente de los valores de verdad que lo conforman. Se utiliza la letra "F" para indicar que es una contradicción.

Ejemplo: 

Esto es una Anti - tautología

Contingencia o Incongruencia: Formula proposicional que por lo menos cuenta con el valor de verdad de "V" y otro de "F" para alguna combinación de las proposiciones que la conforman.

 Ejemplo: 

Esto es una contingencia

tabla de valor de verdad

  Cada proposición puede ser verdadera (V) o falsa (F). Una tabla de verdad es una forma de averiguar si la fórmula molecular (es decir,

Consta de varios supuestos) siempre V, a veces V o nunca V (es decir, siempre

F). Si los valores son siempre V entonces tenemos Tautología, y si son siempre F entonces estamos arriba

conflicto. Como dijimos, cualquier pantalla puede tener el valor T (verdadero) o F (falso). Cuando creamos la tabla de verdad, identificamos todas las combinaciones posibles de

Los valores de estas variables condicionales. Si la fórmula contiene una variable "p", tenemos dos valores reales (V y F). Si la fórmula incluye dos variables "p" y "q", entonces tenemos dos variables elevadas a dos variables, es decir, 4

las probabilidades. Si la fórmula incluye 3 variables “p”, “q” y “r”, entonces aumentaremos de 2 a 3, que es 8

las probabilidades

formulas logicas equivalentes

  Las fórmulas booleanas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos. Diremos que las dos hipótesis P y Q son lógicamente iguales si se trata de una deducción, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.